Temperamento – Conceptos básicos (V) – Colocando los trastes con nuestra tabla de ratios (o cents)

Ya hemos visto varias cosas que me parecieron interesantes: qué es un temperamento, cómo realizar una tabla de cents para estudiar los intervalos, cómo hacer la misma tabla empleando los ratios de cada intervalo y cuáles son las ecuaciones que rigen la relación cents-ratio.

Ahora voy a explicar cómo podemos emplear las razones de los intervalos para conocer el emplazamiento teórico de nuestros trastes.

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Así pues, esta entrada es la continuación de:

Intervalos: ratios, cents y la relación entre ambos

Para aquellos que no quieran leer las entradas previas, voy a emplear como ejemplo el Temperamento Pitagórico con la quinta del lobo entre Sol# y Mib.

Ya sabemos que estamos empleando quintas puras de ratio o razón 3:2 que corresponden aproximadamente a 702 cents. Con ellas ya vimos cómo construir las correspondientes tablas de cents:

Tabla cents pitagorica7

y de ratios:

Tabla de ratios 9

También aprendimos que podemos usar estas ecuaciones para la conversión cents↔ratios:

Cents-Ratio conversion1

o podemos usar las calculadoras de la web de Sengpielaudio.

Con estas herramientas básicas ya podemos empezar a trabajar.

De ratios a longitudes

Los que los ratios nos expresan no es solo cuantas veces es mayor f2 respecto a f1, también nos indican la proporción de nuestra cuerda que ha de vibrar para conseguir dicha relación.

Así, para nuestra fundamental sabemos que f2/f1 es igual a 1:1.

Nota: Es obvio, estamos hablando de un unísono donde la frecuencia f2 es idéntica a la f1 y por tanto la razón o ratio es de 1:1.

Si dividimos 1:1 = 1, lo que nos indica que toda la cuerda está vibrando para producir dicho intervalo.

Pensemos ahora en el intervalo de octava justa. La relación f2/f1 es de 2:1, pero también conocemos que lo que ocurre a nuestra cuerda es que acortándola a la mitad se producirá dicho intervalo. La mitad de nuestra cuerda es 1:2 que es la inversa de 2:1. Si dividimos 1:2 es igual a 0,5, lo que nos indica que vibra la mitad de la cuerda.

Para los que no se hayan fijado, si multiplicamos nuestra longitud vibrante (llamémosla L) por 0,5 nos da una longitud L/2 que corresponde a la posición del traste 12. Es decir, el intervalo de octava.

Otro ejemplo más. La quinta justa tiene por intervalo 3:2. Si invertimos dicha relación nos resulta 2:3 que es igual a 0.6666. Alguno podría pensar que si multiplico directamente la longitud por 0.6666 nos dará la posición del traste apropiado, ¡pero no es así! Al pisar un traste cualquiera, nuestra cuerda se divide en una porción que vibra y otra que no, de modo que:

  • La porción entre cejilla y traste NO produce sonido. En nuestro caso sería 1:3 de la cuerda, que es igual a 1 – 2:3
  • La porción entre traste y puente SÍ vibra puesto que es la que produce el sonido deseado. En nuestro caso esos son los 2:3 = 0.6666

Creo que ya se habrá captado que la relación entre posición de traste y ratio es la siguiente:

Trastes y ratios 1 - Ecuación

Es decir, nuestra longitud por un factor que puedo llamar F:

Trastes y ratios 2 - Ecuación

Nota: Nos podemos fijar que la única fracción que tenemos en la ecuación es 1/ratio. También podemos expresarla como (1:1):(ratio) o (1:1):(f2/f1) = f1:f2. Es decir, el cociente entre la fundamental y la otra nota del intervalo.

A partir de aquí puedo tomar un ejemplo de nuestra tabla. Si la longitud vibrante de mi instrumento es de 60 cm y quiero saber a qué distancia de la cejilla colocar el traste para una tercera mayor, entonces:

Trastes y ratios 3

Hago ahora lo mismo para todos los intervalos de mi escala. Los tabulo indicando los trastes en las dos nomenclaturas más empleadas:

Trastes y ratios 4 - Tabla

Para mayor facilidad, he hecho una tabla de LibreOffice Calc:

¿Cómo usar la tabla? Primero escribimos las notas de nuestra escala y la longitud vibrante del instrumento. Luego, para calcular la posición teórica de los trastes en otros temperamentos, solo hemos de realizar la tabla de Cents o Ratios tal como dijimos en las entradas previas e introducirlas donde correspondan.

Si se observan discrepancias entre las posiciones obtenidas por Cents o Ratios, recordar que se producen errores al redondear las equivalencias entre ambos. Por ejemplo, la máxima discrepancia (como era de esperar) es en el Sol# con:

  • 22,03 cm si uso Cents
  • 22,28 cm si uso ratios

Puesto que el ratio 3:2 para mi quinta pura equivale realmente a 701,95 y no a 702 cents, al ir usando más y más quintas dicho error aumenta, siendo máximo en el Sol#.

Nuestra escala la hemos de trasladar a todas nuestras cuerdas. Si partimos de:

  • Do, Do#, Re, Mib, Mi, Fa, Fa#, Sol, Sol#, La, Sib, Si, Do

y nos vamos a la primera cuerda, en ese caso nuestras notas serían:

  • Sol, Sol#, La, Sib, Si, Do, Do#, Re, Re#, Mi, Fa, Fa#, Sol

He marcado el Re# porque bien pudiera ocurrir que nos interesase más tener ahí un Mi bemol. En ese caso podemos alterar un poco la tabla para que eso ocurra, por ejemplo calculando un La bemol en lugar de un Sol sostenido. En este caso el ratio para esa sexta menor sería:

  • La b = 128:81

Y su posición:

  • Octavo traste = 22.03 cm

Otros recursos y discrepancias con otras tablas

Para aquellos interesados, en la web de The Lute Society hay muchos más enlaces de calculadoras en varios temperamentos.

No obstante he de resaltar que en algunos casos he observado discrepancias entre mi tabla de Temperamento Pitagórico que he usado como ejemplo y aquellas ofrecidas. Es el caso de la tabla de Excel que ofrece la Lute Society of America y podéis descargar aquí.

Para el octavo traste en Pitagórico indica que para una longitud de 60 cm la posición es de 22.54 cm. Esto no cuadra con nuestros cálculos, ni usando cents ni ratios, ni variando de Sol# a un Lab.

Estoy pendiente de que respondan a un correo donde les he preguntado de dónde han sacado los factores para ese traste, pues despejando a partir de la posición que indican obtengo un ratio de

  • 629856:393216 = 1.601806

muy diferente a mi tabla

  • Sol# = 6516:4096 = 1.590820
  • Lab = 128:81 = 1.580246

Mientras tanto, no puedo dejar de resaltar la importancia de comprender el fundamento de estos cálculos y de lo útil que resulta hacerlo por nosotros mismos.

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