En la entrada anterior expliqué cómo realizar una tabla de cents. Esto es muy útil por varios motivos:

• Nos ayuda a entender cómo van a ser los intervalos en el temperamento elegido.
• Nos sirve para configurar algunas apps que podemos descargar en el móvil para afinar el instrumento.

A continuación voy a explicar cómo hacer la misma tabla usando los ratios o razones de cada intervalo. Esto nos va a permitir algo muy interesante que es calcular la distancia teórica a la que debemos colocar nuestros trastes.

Así pues, esta entrada es la continuación de:

• Temperamento – Conceptos básicos (I) – Introducción: El Círculo de Quintas, Temperamentos y armónicos
• Temperamento – Conceptos básicos (II) – Coma pitagórica y sintónica, quinta del lobo
• Temperamento – Conceptos básicos (III) – Terceras mayores, tabla de cents, tipos de semitonos
• Configurar un temperamento en PitchLab usando una tabla de cents

Razones o ratios para cada intervalo acústicamente puro

En mi primera entrada hice una escueta mención a la serie armónica y a que de ella se obtenían una serie de fracciones. No voy a dedicarle mucho tiempo a ello porque pienso escribir una entrada específica para explicarlo. Obviamente esas fracciones variarán según el temperamento empleado, pero quedémonos con que para los intervalos puros serán las siguientes (sacado del libro Meantone Temperaments for Lutes and Viols), entre paréntesis irá un ejemplo del intervalo en cuestión:

• Semitono menor (Do-Do#) 135:128
• Semitono mayor (Re-Mib) 16:15
• Tono menor (Do-Re) 10:9
• Tono mayor (Do-Re) 9:8
• Tercera menor (Do-Mib) 6:5
• Tercera mayor (Do-Mi) 5:4
• Cuarta justa (Do-Fa) 4:3
• Cuarta aumentada (Do-Fa#) 45:32
• Quinta justa (Do-Sol) 3:2
• Sexta menor (Do-Lab) 8:5
• Sexta mayor (Do-La) 5:3
• Séptima menor pequeña (Do-Sib) 16:9
• Séptima menor grande (Do-Sib) 9:5
• Séptima mayor (Do-Si) 15:8
• Octava justa (Do-Do) 2:1

Creo que no hace falta resaltar que se puede escribir tanto 135:128 como 135/128, ambos significan lo mismo.

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En el post anterior expliqué que había dos comas, la pitagórica y la sintónica. También que una opción para cerrar el círculo de quintas era restar a una quinta la coma pitagórica, de ese modo tendríamos 11 quintas puras y una muy desafinada llamada “del lobo”.

Empleando la clasificación de Lindley y Dolata, tendríamos cuatro tipos de temperamentos:

• Temperamento Justo o Entonación Justa: Su particularidad es que todos los intervalos se mantienen acústicamente puros. No es posible incorporarlo al laúd o la vihuela.
• Temperamento Pitagórico: Tal y como menciona Dolata, podría ser tratado más bien como un sistema de afinación que un temperamento. En él las quintas y cuartas son acústicamente puras, lo que nos deja unas terceras mayores grandes y de sonoridad desagradable.
• Temperamentos regulares:
  • Temperamentos mesotónicos: tienen dos tipos de quintas, las acústicamente impuras, a las que se les ha sustraído a todas la misma cantidad, y una quinta del lobo. Con ello se consiguen terceras mayores más agradables. Propiamente dicho el término mesotónico solo se podría referir al de 1/4 de coma sintónica que consigue tener algunas terceras mayores acústicamente puras, y los mesotónicos atenuados que usan otras fracciones de la coma sintónica (como 1/6 o 1/8).
  • Temperamento igual: se consigue dividiendo la octava en doce partes exactamente iguales. Todas sus quintas tienen 700 cents (2 cents menos que la quinta pura de 702) porque repartimos la coma pitagórica de 24 cents entre las 12 quintas (para el que no se haya fijado, 24/12=2).
• Temperamentos irregulares o buenos temperamentos: En ellos se tempera cada quinta de un modo diferente de manera que todas las tonalidades son accesibles.

Aclaro que esta ha sido una clasificación un tanto grosera, pero creo que nos servirá para lo que viene a continuación.

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En la primera parte describí un fenómeno curioso que nos impedía que doce quintas puras fueran idénticas a siete octavas puras (cuando hablo de “puras” hay que entender “acústicamente puras”). Lo que ocurría era que el círculo de quintas no se cerraba realmente puesto que:

• 12 x 702 cents = 8424
• 7 x 1200 cents = 8400

Ahora veremos qué ocurre con esos 24 cents sobrantes y qué soluciones se pueden tomar para que doce quintas más tarde cerremos el círculo.

La coma pitagórica y la incapacidad de cerrar el círculo

Algo que me quedó claro a la hora de entender el temperamento es que hay que tener fresca la teoría subyacente. Llamamos coma pitagórica a esos 24 cents que hacen que usando quintas puras no podamos cerrar el círculo de quintas; como hemos visto:

• Do – Do – Do – Do – Do – Do – Do = 8400 cents
• Do – Sol – Re – La – Mi – Si – Fa# – Do # – Sol# – Re# – La# – Mi# – Si# = 8424 cents

Ya nos damos cuenta que realmente la última nota a la que llegamos usando quintas no es propiamente un Do sino un Si sostenido. Esto va a tener su importancia, sobre todo cuando uno viene del piano y está acostumbrado a pensar que Do sostenido y Re bemol son idénticas.

¿Y son tan importantes esos 24 cents?, ¿realmente se oyen? Pues bueno, para ilustrarlo los he trasladado a un unísono desafinado esa cantidad:

Antes de pasar a eso vamos a ver otro tipo de coma que se produce también usando intervalos puros.

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