En la primera parte describí un fenómeno curioso que nos impedía que doce quintas puras fueran idénticas a siete octavas puras (cuando hablo de «puras» hay que entender «acústicamente puras»). Lo que ocurría era que el círculo de quintas no se cerraba realmente puesto que:

• 12 x 702 cents = 8424
• 7 x 1200 cents = 8400

Ahora veremos qué ocurre con esos 24 cents sobrantes y qué soluciones se pueden tomar para que doce quintas más tarde cerremos el círculo.

La coma pitagórica y la incapacidad de cerrar el círculo

Algo que me quedó claro a la hora de entender el temperamento es que hay que tener fresca la teoría subyacente. Llamamos coma pitagórica a esos 24 cents que hacen que usando quintas puras no podamos cerrar el círculo de quintas; como hemos visto:

• Do – Do – Do – Do – Do – Do – Do = 8400 cents
• Do – Sol – Re – La – Mi – Si – Fa# – Do # – Sol# – Re# – La# – Mi# – Si# = 8424 cents

Ya nos damos cuenta que realmente la última nota a la que llegamos usando quintas no es propiamente un Do sino un Si sostenido. Esto va a tener su importancia, sobre todo cuando uno viene del piano y está acostumbrado a pensar que Do sostenido y Re bemol son idénticas.

¿Y son tan importantes esos 24 cents?, ¿realmente se oyen? Pues bueno, para ilustrarlo los he trasladado a un unísono desafinado esa cantidad:

Antes de pasar a eso vamos a ver otro tipo de coma que se produce también usando intervalos puros.

La coma sintónica y la pureza de las terceras mayores

En este caso lo que nos interesa es la discrepancia que existe entre una tercera mayor pura de 386 cents y una tercera mayor obtenida mediante quintas puras de 702 cents.

¿Pero cómo se determina el tamaño de una tercera mayor a partir de las quintas? Pues partimos de Do y sabemos que la tercera mayor es Mi. Por tanto añadimos a ese Do quintas justas hasta llegar a un Mi:

• Do – Sol – Re – La – Mi

Que en este caso está cuatro quintas por encima. Sabemos que la quinta pura es de 702 cents, por lo que:

• 4 x 702 = 2808 cents

¡Pero ese Mi está dos octavas por encima del do original!

• Do, Re, Mi, Fa, Sol, La, Si, Do, Re, Mi, Fa, Sol, La, Si, Do, Re, Mi

Por tanto para saber el tamaño de la tercera mayor Do-Mi simplemente resto dos octavas:

• 2808 – 2 x 1200 = 2808 – 2400 = 408 cents

Y ahora calculamos la diferencia entre esta tercera mayor obtenida por quintas puras y el tamaño de una tercera mayor acústicamente pura:

• 408 – 386 = 22 cents.

Y por fin esos 22 cents son lo que llamamos coma sintónica.

De nuevo puede surgir la duda de si la diferencia es tan relevante. A fin de cuentas son 22 cents, dos cents menos que la coma pitagórica. De nuevo he desafinado un unísono para ilustrarlo:

Otra forma de entenderla es visualizar las cuerdas de la vihuela.

Si la tengo afinada en sol, sabemos que las notas desde el primer al sexto orden son:

• Sol – Re – La – Fa – Do – Sol

Es decir, tenemos cuatro cuartas justas y una tercera mayor entre Fa y La. Ya vimos en el post anterior que la cuarta acústicamente pura tiene 498 y la tercera 386 cents respectivamente. Si hago los cálculos:

• 4 x 498 + 386 = 2378 cents

Estos 2379 cents es la distancia entre el sol del primer y sexto orden si uso intervalos puros. ¡Pero de sol a sol tengo dos octavas que han de sonar acústicamente puras! Esto no es negociable puesto que los unísonos y las octavas son los intervalos que no pueden fallar en ningún caso. Dos octavas puras tienen:

• 2 x 1200 = 2400 cents

Y si resto 2400 – 2378 = 22 cents, ¡el tamaño de la coma sintónica! Animo a cualquiera a que lo pruebe en su instrumento y se de cuenta de la enorme diferencia que acústicamente suponen esos 22 cents.

¿Y ahora qué hacemos? O cómo cerrar el círculo

Ante la discrepancia que hay de los 24 cents de la coma pitagórica, queda claro que hay que hacer algo al respecto, ¿pero qué?

Una posibilidad es la siguiente. Dado que tenemos doce quintas, ¿por qué no buscar aquella quinta que menos nos moleste para quitarle el tamaño de la coma pitagórica? Así tendríamos once quintas puras y una mucho más pequeña pero que dado que no vamos a usar pues no va a tener importancia alguna.

A esta quinta de tamaño reducido, inútil porque suena fatal, es a la que se le llama quinta del lobo. El por qué de ese nombre es que produce tantos batimentos que evoca al aullido de este animal, ni que decir tiene que esa quinta es inutilizable.

Una elección posible es la siguiente. Partimos de nuestro Do y llegamos hasta Sol# añadiendo quintas puras:

• Do – Sol – Re – La – Mi – Si – Fa# – Do # – Sol# = 8 x 702 = 5616 cents

Ahora hacemos el recorrido al revés simplemente restando quintas puras desde Do (esto es como ir en sentido antihorario en el círculo de quintas):

• Do – Fa – Sib – Mib = 3 x 702 = 2106 cents

Ya vemos que tengo 8 + 3 = 11 quintas de 702 cents y 1 quinta que tiene el tamaño siguiente:

• 8400 – 11 x 702 = 678

Como se puede comprobar fácilmente, 678 es igual a la quinta pura de 702 cents menos la coma pitagórica de 24 cents.

Así, con esto nuestra quinta del lobo estará comprendida entre Sol# y Mib (en negrita), pero hemos conseguido cerrar el círculo de quintas con esta solución de compromiso:

• Do – Sol – Re – La – Mi – Si – Fa# – Do # – Sol# – Mib – Sib – Fa – Do

Ni que decir tiene que la elección de qué quinta absorberá la coma pitagórica depende de nosotros. Alguien podría decidir que en realidad le interesa que esté entre Do# y Lab:

• Do – Sol – Re – La – Mi – Si – Fa# – Do # – Lab – Mib – Sib – Fa – Do

Seguiré con más cositas interesantes en la tercera parte.