Temperamento – Conceptos básicos (III) – Terceras mayores, tabla de cents, tipos de semitonos

En el post anterior expliqué que había dos comas, la pitagórica y la sintónica. También que una opción para cerrar el círculo de quintas era restar a una quinta la coma pitagórica, de ese modo tendríamos 11 quintas puras y una muy desafinada llamada “del lobo”.

Empleando la clasificación de Lindley y Dolata, tendríamos cuatro tipos de temperamentos:

  • Temperamento Justo o Entonación Justa: Su particularidad es que todos los intervalos se mantienen acústicamente puros. No es posible incorporarlo al laúd o la vihuela.
  • Temperamento Pitagórico: Tal y como menciona Dolata, podría ser tratado más bien como un sistema de afinación que un temperamento. En él las quintas y cuartas son acústicamente puras, lo que nos deja unas terceras mayores grandes y de sonoridad desagradable.
  • Temperamentos regulares:
    • Temperamentos mesotónicos: tienen dos tipos de quintas, las acústicamente impuras, a las que se les ha sustraído a todas la misma cantidad, y una quinta del lobo. Con ello se consiguen terceras mayores más agradables. Propiamente dicho el término mesotónico solo se podría referir al de 1/4 de coma sintónica que consigue tener algunas terceras mayores acústicamente puras, y los mesotónicos atenuados que usan otras fracciones de la coma sintónica (como 1/6 o 1/8).
    • Temperamento igual: se consigue dividiendo la octava en doce partes exactamente iguales. Todas sus quintas tienen 700 cents (2 cents menos que la quinta pura de 702) porque repartimos la coma pitagórica de 24 cents entre las 12 quintas (para el que no se haya fijado, 24/12=2).
  • Temperamentos irregulares o buenos temperamentos: En ellos se tempera cada quinta de un modo diferente de manera que todas las tonalidades son accesibles.

Aclaro que esta ha sido una clasificación un tanto grosera, pero creo que nos servirá para lo que viene a continuación.

Lo interesante es ver que ha habido varias formas de afrontar la coma pitagórica y cómo cerrar el círculo de quintas. El Pitagórico apostó por la pureza de quintas y cuartas a costa de las terceras mayores, los mesotónicos prefieren sacrificar algo la pureza de quintas y cuartas para obtener terceras mayores más bonitas, los irregulares modifican cada quinta para acceder a todas las tonalidades y cada una tendrá su propio “sabor”; y el temperamento igual sacrifica ese “sabor” particular de cada tonalidad igualándolas.

La importancia de las terceras mayores

Lo he leído en casi todos los libros, el paso principal del Temperamento Pitagórico al Mesotónico en el Renacimiento se produjo cuando se empezaron a emplear con mayor frecuencia las terceras mayores.

Empleando los cents podemos hacernos una idea de cómo varía el tamaño de la misma según el temperamento, teniendo siempre como referente que la acústicamente pura es de 386 cents:

  • Tercera mayor Pitagórica: 408 cents
  • Tercera mayor en Temperamento Igual: 400 cents
  • Tercera mayor en Mesotónico atenuado con quintas de 698: 392 cents
  • Tercera mayor en Mesotónico de 1/4 de coma: 386 cents.

Para ilustrar las diferencias he afinado la tercera mayor Fa – La de mi vihuela en diferentes temperamentos:

  • 3ª mayor Pitagórica
  • 3ª mayor en Temperamento Igual
  • 3ª mayor en Mesotónico (698)
  • 3ª mayor en Mesotónico 1/4 de coma

Al margen de que tengo las cuerdas del instrumento un tanto envejecidas y cuesta tener ambas perfectamente al unísono, se pueden escuchar diferencias muy palpables.

La tercera mayor pitagórica tiene muchísimos batimentos y suena francamente mal. La del Temperamento Igual puede que nos suene aceptable (o incluso “bien”) porque este temperamento está muy extendido y aquellos que hemos tocado el piano puede que no hayamos conocido otra cosa. No obstante es evidente que, aunque mejora el Pitagórico, sigue batiendo bastante y dando mucha sensación de inestabilidad.

En cuanto entramos en una tercera mayor más pequeña resulta obvio que suena muchísimo mejor. La del temperamento Mesotónico atenuado (el que estoy usando fue propuesto por Eugen Dombois con quintas de 698) es mucho más estable, pero la máxima estabilidad, como es obvio, se la lleva el 1/4 de coma cuya tercera mayor es acústicamente pura.

Llamo la atención de que cuesta acostumbrarse a ello. Viniendo del piano y del temperamento igual, al principio mis terceras mayores más pequeñas me sonaban terriblemente extrañas. Ahora simplemente cualquier otra tercera de mayor tamaño me chirría muchísimo.

Ahora bien, ¿cómo podemos saber cuán puros son los intervalos de una escala una vez escogido un temperamento? ¿Cómo saber qué tamaño van a tener mis terceras, sextas, o cuartas? Realizando una tabla en la cual podremos calcular el tamaño de cada uno, explicaré a continuación cómo construirlas.

Tabla de cents del Temperamento Pitagórico

Ya lo hemos visto, en este temperamento dispongo de once quintas acústicamente puras de 702 cents y una quinta del lobo de 678 cents. Como ejemplo voy a suponer que escojo que la quinta del lobo esté entre Do# y Lab:

  • Do – Sol – Re – La – Mi – Si – Fa# – Do # – Lab – Mib – Sib – Fa – Do

Y escribo en una tabla como esta las notas de la escala que voy a tener:

Tabla cents pitagorica1

Luego añado mi primera quinta pura de 702 cents que es Sol:

Tabla cents pitagorica2

Ahora llego a Re sumando la siguiente quinta al Sol. Esto es 702 + 702 = 1404. Como nos hemos pasado de octava (porque el resultado es superior a 1200), le resto dicho valor a nuestro resultado: 1404 – 1200 = 204.

Tabla cents pitagorica3

Voy haciendo exactamente lo mismo con todas las quintas hasta llegar a Do#. Recordar que cada vez que nuestra suma supere 1200, hemos de restarle esa cantidad para “meterla” en nuestra octava:

Tabla cents pitagorica4

Ahora toca restar quintas a partir de nuestro Do inicial. Como a cero le restamos 702 para llegar a Fa, esto es 0 – 702 = -702. Se observa que es un resultado negativo y lo que nos indica es que esta vez nos hemos pasado a una octava inferior, por lo que hemos de llevarlo a nuestra octava sumándole 1200: -702 + 1200 = 498 cents.

Tabla cents pitagorica5

Así proseguimos, restando una quinta a Fa llegamos al Si bemol. De nuevo tenemos 498 – 702 =-204 por lo que sumamos 1200 y nos da:

Tabla cents pitagorica6

Completamos la tabla hasta llegar al Lab. Al final escribiremos 1200 en el Do que está a la derecha, simplemente para completar la escala.

Tabla cents pitagorica7

Para aquellos que lo deseen, he elaborado un documento explicando paso a paso lo anterior.

Estudiando los intervalos con la tabla de cents

A partir de la tabla superior se puede deducir cada intervalo de forma sencilla.

Imaginemos que queremos saber cómo va a sonar la quinta Do#-Lab. Simplemente restamos 792 menos 114 y obtenemos un, para nada sorprendente, resultado de 678 cents, ¡exactamente nuestra quinta del lobo!

Otro ejemplo: queremos saber cómo es la tercera mayor Mib – Sol. Restamos 702 – 294 = 408 cents, ¡exactamente la tercera mayor pitagórica!

¿Y la séptima mayor Mib – Re? Tenemos Mi bemol con 294 y el Re que nos interesa está una octava por encima, esto es 204 + 1200 = 1404. Por tanto la séptima medirá 1404 – 294 = 1110 cents.

Si estudiamos las terceras mayores veremos sus diferentes tamaños:

  • Do – Mi = 408
  • Do# – Fa = 384
  • Re – Fa# = 408
  • Mib – Sol = 408
  • Mi – Lab = 384
  • Fa – La = 408
  • Fa# – Sib = 384
  • Sol – Si = 408
  • Lab – Do = 408
  • La – Do# = 408
  • Sib – Re = 408
  • Si – Mib = 384

Se apreciará que tendremos ocho terceras mayores de 408 cents, prácticamente inutilizables, y cuatro de 384 cents (solo 2 cents menores que la pura).

También hay algo que llama mucho la atención y es la existencia de dos tipos de semitonos:

  • Semitono cromático (ej. Do – Do#) de 114 cents
  • Semitono diatónico (ej. Re – Mib) de 90 cents

Para mí, acostumbrado a pensar en las teclas de un piano, esto me resultó extrañísimo al principio. ¿Acaso no eran Do sostenido y Re bemol exactamente iguales? Pues va a ser que sí, pero únicamente si empleo el Temperamento Igual. Si uso cualquier Pitagórico o Mesotónico voy a tener que mirar atentamente porque van a existir dos tipos de semitonos de distinto tamaño.

Semitonos mayores y menores

Su existencia tiene una coherencia aplastante y se visualiza estupendamente en los trastes de nuestro instrumento.

Laud Petit 7

Fijémonos en la fotografía del primer traste de mi laúd. Veremos que el traste propiamente dicho está a una altura y que para el cuarto y quinto órdenes he metido un traste pequeñito, un tastino, que queda más cerca de la cejilla.

Esto es así porque estoy usando Temperamento Mesotónico. El traste está colocado en la posición donde iría el semitono diatónico Sol – Lab, y el tastino lo he puesto en la posición del semitono cromático, en este caso en el cuarto orden sería Fa – Fa#, y en el quinto Do – Do#.

Hay que observar una cosa, y es que en el Temperamento Pitagórico tenemos

  • Semitono cromático (ej. Do – Do#) de 114 cents
  • Semitono diatónico (ej. Re – Mib) de 90 cents

Y en el mesotónico

  • Semitono cromático (ej. Do – Do#) de 75.5 cents
  • Semitono diatónico (ej. Re – Mib) de 117.5 cents

Por lo que en pitagórico el bemol quedaría por debajo del sostenido, y en el mesotónico es exactamente al revés, quedando el bemol por encima del sostenido.

Para entendernos posteriormente, vamos a emplear la terminología que usa Dolata en su libro. Aquel semitono pequeño será llamado semitono menor o mi, y aquel grande será llamado semitono mayor o fa.

Así, mi tastino está colocado en la posición de mi y el traste en la posición de fa. Otro ejemplo puede verse en la siguiente imagen.

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s