Temperamento – Conceptos básicos (IV) – Construir una tabla de temperamento usando ratios y conversión cents-ratio

En la entrada anterior expliqué cómo realizar una tabla de cents. Esto es muy útil por varios motivos:

  • Nos ayuda a entender cómo van a ser los intervalos en el temperamento elegido.
  • Nos sirve para configurar algunas apps que podemos descargar en el móvil para afinar el instrumento.

A continuación voy a explicar cómo hacer la misma tabla usando los ratios o razones de cada intervalo. Esto nos va a permitir algo muy interesante que es calcular la distancia teórica a la que debemos colocar nuestros trastes.

Así pues, esta entrada es la continuación de:

Razones o ratios para cada intervalo acústicamente puro

En mi primera entrada hice una escueta mención a la serie armónica y a que de ella se obtenían una serie de fracciones. No voy a dedicarle mucho tiempo a ello porque pienso escribir una entrada específica para explicarlo. Obviamente esas fracciones variarán según el temperamento empleado, pero quedémonos con que para los intervalos puros serán las siguientes (sacado del libro Meantone Temperaments for Lutes and Viols), entre paréntesis irá un ejemplo del intervalo en cuestión:

  • Semitono menor (Do-Do#) 135:128
  • Semitono mayor (Re-Mib) 16:15
  • Tono menor (Do-Re) 10:9
  • Tono mayor (Do-Re) 9:8
  • Tercera menor (Do-Mib) 6:5
  • Tercera mayor (Do-Mi) 5:4
  • Cuarta justa (Do-Fa) 4:3
  • Cuarta aumentada (Do-Fa#) 45:32
  • Quinta justa (Do-Sol) 3:2
  • Sexta menor (Do-Lab) 8:5
  • Sexta mayor (Do-La) 5:3
  • Séptima menor pequeña (Do-Sib) 16:9
  • Séptima menor grande (Do-Sib) 9:5
  • Séptima mayor (Do-Si) 15:8
  • Octava justa (Do-Do) 2:1

Creo que no hace falta resaltar que se puede escribir tanto 135:128 como 135/128, ambos significan lo mismo.

¿Qué es una razón o ratio?

Se trata del cociente de dos frecuencias f2/f1 , con ello expresamos cuántas veces es mayor f2 respecto a f1.

Un ejemplo es el intervalo de octava pura. Si tenemos la frecuencia f1 = 55 Hz, la octava acústivamente pura estará en f2 = 110 Hz. Por tanto el ratio para dicho intervalo será 110:55 = 2:1.

Si resultase que f1 = 440 Hz y f2 = 660 Hz, entonces entre ambas frecuencias se establece el intervalo de quinta pura. El ratio es 660:440 = 3:2.

¿Cómo sumar o restar intervalos usando sus ratios?

Recordemos que al usar cents las operaciones eran la suma y la resta cuando queríamos añadir o sustraer un intervalo a una nota dada. En el caso de los ratios la situación se complica.

Para sumar dos intervalos, se han de multiplicar los ratios:

Operaciones de ratios - suma

Para restar dos intervalos, se han de dividir sus ratios:

Operaciones de ratios - resta

Tabla de ratios para un temperamento

Igual que en el ejemplo que usé en la entrada anterior, voy a realizar la tabla para el Temperamento Pitagórico. Recordemos que este temperamento emplea quintas acústicamente puras de razón 3:2; colocaré la quinta del lobo entre Sol# y Mib.

Sirva también de recordatorio que primero iré sumando quintas en el sentido horario del círculo de quintas hasta llegar a Sol#:

Do → Sol → Re → La → Mi → Si → Fa# → Do# → Sol#

Y luego restaré quintas desde Do en sentido antihorario hasta llegar a Mib:

Mib ← Sib ← Fa ← Do

Claro que este paso se puede entender de otro modo: simplemente sumar cuartas puras de razón 4:3 desde Do hasta Mib:

Do → Fa → Sib → Mib

Primero hago mi tabla escribiendo las notas que voy a tener:

Tabla de ratios 1

Ahora añado mi primera quinta de 3:2, que es Sol.

Tabla de ratios 2

La siguiente quinta es Re. Para ello aplicamos la suma de intervalos empleando sus ratios, por lo que debemos multiplicar los cocientes:

Suma de quintas 1

Como sabemos que estamos en la octava superior, esto es a intervalo de novena, restamos una octava, por lo que dividimos el intervalo de novena entre el de octava:

Suma de quintas 2

Escribimos nuestro intervalo, que ahora es de una segunda mayor.

Tabla de ratios 3

Proseguimos con La:

Suma de quintas 3

Tabla de ratios 4

Y con Mi:

Suma de quintas 4

que como se nos pasa de nuevo a la octava superior

Suma de quintas 5

por lo que queda:

Tabla de ratios 5

Y así proseguimos hasta llegar al Sol#:

Tabla de ratios 6

En este momento procedemos a restar quintas a Do, no olvidar que el mismo proceso puede hacerse sumando cuartas. Primero llegamos a Fa:

Suma de quintas 6

y escribimos en nuestra tabla:

Tabla de ratios 7

Procedemos con Sib:

Suma de quintas 7

Tabla de ratios 8

hasta llegar a Mib y ya tenemos completa nuestra tabla:

Tabla de ratios 9

Comprobando el resultado

¿Pero realmente el proceso produce el mismo tipo de intervalo? Probemos a usar el conversor cents-ratio de la web sengpielaudio.

Ahí nos enteramos que la fórmula para convertir de uno a otro puede emplear logaritmos en base diez o en base dos. Sea como sea, se expresan así:

Cents-Ratio conversion

Comparo una tabla con la otra:

Tabla cents pitagorica7

Tabla de ratios 9

Por ejemplo, para el Do#:

  • 114 cents expresados como cociente es igual a 1.068065
  • 2187:2048 = 1.067871 que en cents son 113,68

La divergencia de resultados se debe a que hemos empleado una quinta de 702 cents cuando en realidad la quinta pura de razón 3:2 tiene 701.95.

Para aquellos que no recuerdan como despejar las ecuaciones:

Cents-Ratio conversion1

Continúo en la siguiente entrada, esta vez acerca de cómo usar todo lo visto para calcular la posición de nuestros trastes.

 

3 comentarios en “Temperamento – Conceptos básicos (IV) – Construir una tabla de temperamento usando ratios y conversión cents-ratio

  1. Hola, me atrevo, tras agradecerle su extraordinario artículo y mostrarle mi admiración como estudiante de composición, someterle el siguiente texto para, si lo estima admisible y oportuno, corregir el siguiente texto que debo entregar como redacción en mi curso.
    «La respuesta completa a la pregunta frecuente de porqué entre Mi y Fa hay un semitono debe tener, como mínimo, un doble carácter: científico (Matemáticas y Física Acústica) y cultural (Musicología). Como la pregunta se refiere a la escala diatónica occidental de siete notas (Do a SI), esa respuesta completa podría ser la siguiente. El proceso de formalización del círculo de quintas que empezando en el monocordio de Pitágoras se ha usado para hallar esas siete notas usa una determinada progresión geométrica y realiza la ubicación de las mismas dentro de una misma octava (delimitada por un sonido y su doble en la ascensión de grave a agudo o su mitad en el descenso de agudo a grave). Así se ha logrado numerizar una serie de sonidos más o menos armoniosos. Pues bien, la primera interrupción significativa del orden repetitivo de la serie de números racionales (quebrados) resultante aparece entre las notas 3ª y 4ª (Mi y Fa en la escala mayor de DO). Dicha interrupción aparece cuando al valor racional de los dos intervalos anteriores a MI de esa escala (de DO a RE y de RE a MI), que es de 9:8 (ó 1,125), le sucede un valor del tercer intervalo (de MI a FA) que es distinto, a saber, 256:243 (ó 1,053). Lo mismo que acabamos de ver para el primer tetracordio de la octava de la escala diatónica (grupos de notas DO, RE, MI y FA) ocurre en el segundo tetracordio (grupo de notas FA, SOL, LA y SI y sus respectivos intervalos subsiguientes), donde el intervalo de FA a SOL y el de SOL a FA tienen un valor distinto al del intervalo de Si a DO de la octava siguiente (de nuevo, 1,125 y 1,053 respectivamente). Se puede constatar que si unimos los dos intervalos diferentes obtenemos, aproximadamente, el valor de cada uno de los restantes cinco intervalos, es decir: (256:243) ² ≈ 9:8 (1,109 ≈ 1,125). ¿Podría seguirsede esta adición la atribución del nombre “tono” (“tensión” en griego) a los citados cinco intervalos y de semitono a los dos restantes (MI a FA y SI a DO) ?»

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    1. Hola José,
      Muchas gracias por escribir. La verdad es que yo no soy músico profesional y como tal no podría decirte, con una base suficiente, una respuesta adecuada a tu pregunta.
      No obstante lo voy a leer con calma a ver si se me ocurre alguna sugerencia.
      Un saludo

      Me gusta

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